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Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition. Repérage d'un point dans le plan. Courbe représentative d'une fonction de la variable réelle dans un repère du plan. Calculer des images ou des antécédents à partir d'une expression d'une fonction. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet) Déterminer graphiquement des images et des antécédents. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type: $f(x)=k$. Résoudre graphiquement une inéquation du type: $f(x) Corrigé des exercices: ensemble de définition d'une fonction
Corrigé des exercices sur l'ensemble de définition d'une fonction
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Qui suis-je? Corrigé des exercices: ensemble de définition d'une fonction
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chapitre 5 Fonctions: généralités
exercice corrigé nº61
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Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminer l'ensemble de définition. $f(x)=x^2+3x-5$
Ensemble de définition L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$. Exercice 1
Déterminer l'ensemble de définition et les limites aux bornes des fonctions définies par:
$f_1(x)=\dfrac{1}{\ln(x)}$
$\quad$
$f_2(x)=\ln\left(x^2+2x+3\right)$
$f_3(x)=x-\ln x$
Correction Exercice 1
La fonction $f_1$ est définie sur $I=]0;1[\cup]1;+\infty[$ (il faut que $x>0$ et que $\ln x\neq 0$). $\bullet$ $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f_1(x)=0^-$
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to 1^-} \ln x=0^-$ donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f_1(x)=-\infty$
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to 1^+} \ln x=0^+$ donc $\lim\limits_{x \to 1^+} f_1(x)=+\infty$
$\bullet$ $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f_1(x)=0$
On étudie dans un premier temps le signe de $x^2+2x+3$. $\Delta=2^2-4\times 3\times 1=-8<0$. Le coefficient principal est $a=1>0$. Donc l'expression est toujours strictement positive. Ainsi la fonction $f_2$ est définie sur $\R$. $\bullet$ $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2+2x+3=\lim\limits_{x \to -\infty} x^2=+\infty$ d'après la limite des termes de plus haut degré. Ensembles de définition
Enoncé Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes:
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1. }\ \sqrt{2x^2-12x+18} &\quad&\mathbf{2. }\ \ln(x^2+4x+4)\\
\mathbf{3. } \sqrt{\frac{8-16x}{(7+x)^2}}&\quad&\mathbf{4. } \ln(3-x)+\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}. \end{array}$$
Fonctions paires et impaires
Enoncé Soit $f, g:\mathbb R\to\mathbb R$ des fonctions impaires. Que dire de la parité de $f+g$, $f\times g$ et $f\circ g$? Enoncé Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction paire. On suppose que la restriction de $f$ à $\mathbb R_-$ est croissante. Que dire de la monotonie de la restriction de $f$ à $\mathbb R_+$. Enoncé Soit $I$ une partie de $\mathbb R$ symétrique par rapport à $0$ et $f$ bijective et impaire de $I$ dans $J\subset \mathbb R$. Démontrer que $f^{-1}$ est impaire. Peut-on remplacer impaire par paire dans cet énoncé? Enoncé Étudier la parité des fonctions suivantes:
$$f_1(x)=e^x-e^{-x}, \ f_2(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}, \ f_3(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}. $$
Fonctions périodiques
Enoncé Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction périodique admettant 2 et 3 comme période. Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $\e$ est:
$y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$
Or $f'(\e)=-\dfrac{\ln(\e)+1}{\left(\e\ln(\e)\right)^2}=-\dfrac{2}{\e^2}$
et $f(\e)=\dfrac{1}{\e}$
Ainsi une équation de la tangente est:
$y=-\dfrac{2}{\e^2}(x-\e)+\dfrac{1}{\e}=-\dfrac{2x}{\e^2}+\dfrac{3}{\e}$
$\quad$
Ensemble De Définition Exercice Corrigé Des
Ensemble De Définition Exercice Corrigé En
Ensemble De Définition Exercice Corrigé Mode